考试要求导数应用一. 考试内容要点二. 常考题型方法与技巧1. 考试内容1.微分中值定理(1) 罗尔定理(2) 拉格朗日定理(3) 柯西定理4)泰勒定理（拉格朗日余项）2. 极值与最值(1).极值的概念(2). 极值的必要条件3. 极值的充分条件(1) 第一充分条件(2) 第二充分条件(3) 第三充分条件4. 函数的最值3.曲线的凹向与拐点1. 曲线的凹向2. 曲线的渐近线3. 平面曲线的曲率二. 常考题型方法与技巧题型一 函数的单调性、极值及最值题型二 曲线的凹向、拐点、渐近线及曲率题型三 方程的根的存在性及个数题型四 证明函数不等式题型五 微分中值定理有关的证明题1.证明存在一个点 使 函数证明中辅助函数构造方法柯西定理拉格朗日定理2．证明存在两个点 ξ,η ∈ (a,b), 使3. 证明存在一个中值点 ξ ∈ (a,b) , 使

考试要求

  1. 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理。
  1. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
  1. 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。
  1. 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
  1. 了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

导数应用

一. 考试内容要点

  1. 微分中值定理
  1. 极值与最值
  1. 曲线的凹向与拐点
  1. 曲线的渐近线
  1. 平面曲线的曲率

二. 常考题型方法与技巧

  1. 题型一 函数的单调性 极值与最值
  1. 题型二 曲线的凹向 拐点 渐近线及曲率
  1. 题型三 方程根的存在性及个数
  1. 题型四 证明函数不等式
  1. 题型五 微分中值定理有关的证明题

1. 考试内容

1.微分中值定理

(1) 罗尔定理

若
  1. 在
  1. 上连续；
  1. 在
  1. 内可导；
\exists \xi \in (a, b)

(2) 拉格朗日定理

若
  1. 在
  1. 上连续；
  1. 在
  1. 内可导；
\exists \xi \in (a, b)

(3) 柯西定理

若f(x), g(x)
[a, b]
f(x), g(x)
(a, b)
g'(x) \neq 0
\exists \xi \in (a, b)

4)泰勒定理（拉格朗日余项）

f(x)
I
(n+1)
x0 \in I
\forall x\in I
\xi
f(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + \cdots + \frac{f^{(n)}(x0)}{n!} (x - x0)^n + Rn(x)
注

2. 极值与最值

(1).极值的概念

\exists \delta > 0
\forall x \in U(x0, \delta) \text{ 恒有 } f(x) \ge f(x0)
f(x)
x0
\forall x \in U(x0, \delta) \text{ 恒有 } f(x) \le f(x0)
f(x)
x0

(2). 极值的必要条件

f(x)
x0
x0
极值点
驻点

3. 极值的充分条件

(1) 第一充分条件

设
(或
在
处连续)，且在
的某去心邻域
内可导。
  1. 若
  1. 时，
  1. ，而
  1. 时，
  1. ，则
  1. 在
  1. 处取得极大值；
  1. 若
  1. 时，
  1. ，而
  1. 时，
  1. ，则
  1. 在
  1. 处取得极小值；
  1. 若
  1. 时，
  1. 不变号，则
  1. 在
  1. 处没有极值。

(2) 第二充分条件

设
在
处二阶可导，且
,
。
  1. 当
  1. ，
  1. 在
  1. 处取极大值；
  1. 当
  1. ，
  1. 在
  1. 处取极小值。

(3) 第三充分条件

f(x)
x0
n (n \ge 2)
  1. 当
  1. 为偶数时，
  1. 在
  1. 处取得极值，若
  1. ，则
  1. 在
  1. 处取极小值；若
  1. ，则
  1. 在
  1. 处取极大值。
  1. 当
  1. 为奇数时，
  1. 在
  1. 处无极值。

4. 函数的最值

  1. 求连续函数
  1. 在
  1. 上的最值注：若连续函数
  1. 在
  1. 内仅有唯一极值点，则该极值即为最值。
    1. 第一步：求出
    2. 在
    3. 内的驻点和不可导的点
    4. ；
    5. 第二步：求出函数值
    6. ；
    7. 第三步：比较以上各点函数值。
  1. 最大最小值的应用题
    1. 第一步：建立目标函数；
    2. 第二步：

3.曲线的凹向与拐点

1. 曲线的凹向

  1. 判定：若在区间
  1. 上
  1. ，则曲线
  1. 在
  1. 上是凹（凸）的。
  1. 曲线的拐点
    1. 定义：曲线
    2. 在点
    3. 两侧凹凸性相反。
    4. 判定：一个必要，三个充分条件。

2. 曲线的渐近线

  1. 水平渐近线 若
  1. (或
  1. ,或
  1. ) 那么
  1. 是
  1. 的水平渐近线。
  1. 垂直渐近线 若
  1. (
  1. 或
  1. ) 那么
  1. 是
  1. 的垂直渐近线。
  1. 斜渐近线 若
  1. 那么
  1. 是
  1. 的斜渐近线。

3. 平面曲线的曲率

  1. 曲率的定义
  1. 曲率的计算
  1. 若曲线由
  1. 给出，则
  1. 若曲线由
\begin{cases} x = x(t) \ y = y(t) \end{cases}
  1. 曲率圆与曲率半径 曲率半径:

二. 常考题型方法与技巧

题型一 函数的单调性、极值及最值
题型二 曲线的凹向、拐点、渐近线及曲率
题型三 方程根的存在性及个数
题型四 证明函数不等式
题型五 微分中值定理有关的证明题

题型一 函数的单调性、极值及最值

f(x) = \int1^{x^2} (x^2 - t) e^{-t^2} dt
y = f(x)
y^3 + xy^2 + x^2 y + 6 = 0
f(x)
f(x)
f'(0) = 0, \lim{x \to 0} \frac{f''(x)}{|x|} = 1
(A)
是
的极大值；
(B)
是
的极小值；
(C)
是曲线
的拐点；
(D)
不是
的极值，
也不是曲线
的拐点。
f(x)
  1. 若
  1. 是极值点时，是极小值点还是极大值点？
  1. 若
  1. 是极值点时，是极大值点还是极小值点？
f(x)
\lim{h \to 0} \frac{f(x0 + h) - f(x0) - f'(x0)}{h^2} = a \neq 0,
f(x)
x0
解1：
解2：
解3：

题型二 曲线的凹向、拐点、渐近线及曲率

例1设函数
满足关系式
f''(x) + [f'(x)]^2 = \sin x
f''(0) = 0
(A)
是
的极大值；
(B)
是
的极小值；
(C)
是曲线
的拐点；
(D)
不是
的极值，
也不是曲线
的拐点。
y = y(x)
\begin{cases} x = \frac{1}{3}t^3 + t + \frac{1}{3}, \ y = \frac{1}{3}t^3 - t + \frac{1}{3} \end{cases}
y = y(x)
y = y(x)
y = \frac{(1 + x)^{3/2}}{\sqrt{x}}
解1：
解2：
y = e^{\frac{1}{x}} \arctan \frac{x^2 + x + 1}{(x - 1)(x - 2)}
(A) 1.
(B) 2.
(C) 3.
(D) 4.
y = x \arctan x
解1：
解2：
例6
y^2 = x
(0,0)
\begin{cases} x = \cos^3 t, \ y = \sin^3 t \end{cases}
t = \frac{\pi}{4}

题型三 方程的根的存在性及个数

  1. 存在性方法1: 零点定理；方法2: 罗尔定理；
  1. 根的个数方法1: 单调性；方法2: 罗尔定理推论；
罗尔定理推论: 若在区间
上
，则方程
在
上最多有
个实根。
a1, a2, \cdots, an
a1 \cos x + a2 \cos 2x + \cdots + an \cos nx = 0
[0, \pi]
\ln x - \frac{x}{e} + 1 = 0
2^x - x^2 = 1
x = ae^x (a > 0)
x > 0
kx + \frac{1}{x^2} = 1
k
例7设
在
上可微，且当
时，
， 试证在
内有且仅有一个
，使
。
例8设
，
，
，求证:
在
有且仅有一根。
证明1：
证明2：

题型四 证明函数不等式

证明不等式常用的五种方法：
  1. 单调性;
  1. 最大最小值;
  1. 拉格朗日中值定理;
  1. 泰勒公式;
  1. 凹凸性;
例1设 ，证明
推论：当
时，
例2求证：
(0 < a < b)
例3比较 与 的大小.
例4设 , 且 , 证明：
例5设 在 上可导，且 (x≥0)，则（）
A.
B.
C.
D.

题型五 微分中值定理有关的证明题

1.证明存在一个点 使

方法：构造辅助函数利用罗尔定理。
构造辅助函数的方法主要有两种：
  1. 分析法（还原法） 根据对欲证的结论的分析，确定 ，使
  1. 微分方程法：欲证
    1. 求微分方程 的通解
    2. 设辅助函数
例1设 在 上连续，在 内可导， 与 同号，求证： 使
  1. 分析法：欲证 ，只要证 则构造辅助函数
  1. 微分方程法：欲证 ，解微分方程 ，得其通解 。则构造辅助函数
例2设 在 上连续，在 内可导且 ，求证： 使
注:
  1. 欲证 ，令 ;
  1. 欲证 ，令 ;
例3设 在 上连续，在 内可导，且 ，求证： 使

函数证明中辅助函数构造方法

  1. 欲证 ，令 ;
  1. 欲证 ，令 ;
  1. 欲证 ，令 ;特别的，令 ，，令
  1. 欲证 ，令 ;()
  1. 欲证 ，令 ;
  1. 欲证 ，令 ;
例4 设
在
上连续，在
内可导，且
。证明：
  1. 存在
  1. 使
  1. ；
  1. 对任意实数
  1. ，存在
  1. 使
  1. 。
例5 设奇函数
在
上具有2阶导数，且
。
证明：
  1. 存在
  1. 使
  1. ；
  1. 存在
  1. 使
  1. 。
【例6】设函数
在
上二阶可导，且
。
。试证：
  1. 在
  1. 内
  1. ；
  1. 在
  1. 内至少有一点
  1. ，使
  1. 。

柯西定理

若
  1. 在
  1. 上连续；
  1. 在
  1. 内可导，且
  1. ；
则存在
，使
。

拉格朗日定理

若
  1. 在
  1. 上连续；
  1. 在
  1. 内可导；
则存在
，使
。
【例7】设
在
上连续，在
内可导，且
。求证：存在
使
。
【例8】设
在
上连续，且
。求证：存在
使
。
【例9】设
在
上连续，
，
。求证：存在
使
。

2．证明存在两个点 ξ,η ∈ (a,b), 使

方法:
  1. 不要求 ξ ≠ η 在同一区间 [a,b] 上用两次中值定理 (拉格朗日、柯西中值定理)
  1. 要求 ξ ≠ η 将区间 [a,b] 分为两个子区间，在两个子区间上分别用拉格朗日中值定理
例1:设 f(x) 在 [a,b] 上连续, (a,b) 内可导, 且 a,b 同号，试证明在 ξ,η ∈ (a,b), 使
例2:设 f(x) 在 [a,b] 上连续, 在 (a,b) 内可导, 且 f'(x) ≠ 0. 证明在 ξ,η ∈ (a,b), 使得
例3: 设 f(x) 在 [a,b] 上连续, 在 (a,b) 内可导, 且
试证明在 ξ,η ∈ (a,b), 使
例4:设 f(x) 在 [0,1] 上连续, 在 (0,1) 内可导, 且
证明:
  1. 存在 ξ ∈ (0,1), 使得
  1. 存在两个不同的点 η,ζ ∈ (0,1), 使得
例5: 设 f(x) 在 [0,1] 上连续, 在 (0,1) 内可导, 且
试证明对任意给定的正数 a,b, 在 (0,1) 内一定存在互不相同的 ξ,η, 使

3. 证明存在一个中值点 ξ ∈ (a,b) , 使

方法:
用带拉格朗日余项的泰勒公式，其中 \( \) 点选题目中提供函数值和导数值信息多的点。
例1: 设 \(\) 在 上二阶可导, \( \), 求证：存在 ξ ∈ (a,b), 使
例2: 设 \(\) 在 [0,1] 上三阶可导,
求证：存在 ξ ∈ (0,1), 使
例3: 设 \( f(x) \) 在 [0,1] 上有二阶连续导数，且
证明
例4: 设函数 \( f(x) \) 具有2阶导数，且
证明：
  1. 当 \( \) 时， ;
（一）
辅助函数
  1. 分析法（还原法）
  1. 微分方程法
  1. 常用辅助函数
（二）
  1. 不要求
  1. 要求
（三）