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考试要求一. 导数与微分1.导数的概念2.微分的概念3.导数与微分的几何意义4.连续、可导、可微之间的关系5.求导公式6.求导法则(1) 有理运算法则(2) 复合函数求导法(3) 隐函数求导法(4) 反函数的导数(5) 参数方程求导法(6) 对数求导法(7) 高阶导数二. 常考题型的方法与技巧题型一 导数与微分的概念1. 利用导数定义求极限2. 利用导数定义求导数3. 利用导数定义判断函数的可导性题型二 导数的几何意义题型三 导数与微分的计算1. 复合函数的导数2. 隐函数的导数3. 参数方程的导数4. 反函数求导法5. 对数求导法6. 高阶导数

考试要求

  1. 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，掌握函数的可导性与连续性之间的关系。
  1. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的求导公式。
  1. 了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
  1. 了解高阶导数的概念，会求简单函数的n 阶导数。
  1. 会求分段函数的一阶、二阶导数。
  1. 会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数
  1. 会求反函数的导数。
  1. 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理。
  1. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
  1. 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。
  1. 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
  1. 了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

一. 导数与微分

1.导数的概念

导数：
左导数：
右导数：
定理：可导
左右导数都存在且相等

2.微分的概念

若
，则称
在
处可微，称
为微分，记为
。
定理：函数
在点
处可微的充分必要条件是
在点
处可导，且有
。

3.导数与微分的几何意义

notion image
导数
，表示切线的斜率。
微分
，表示曲线上增量。

4.连续、可导、可微之间的关系

可导
\Rightarrow f'(x) \text{ 连续}
条件
  1. f(x)
  1. f(x)

5.求导公式

6.求导法则

(1) 有理运算法则

(2) 复合函数求导法

设
，
可导，则

(3) 隐函数求导法

若
，则

(4) 反函数的导数

若
在某区间上单调、可导，且
，则其反函数
也可导，且
即

(5) 参数方程求导法

设
是由
确定的函数，则
  1. 若
  1. 和
  1. 都可导，且
  1. ，则
  1. 若
  1. 和
  1. 二阶可导，且
  1. ，则

(6) 对数求导法

如果y=y(x)的表达式是由多个因式的乘除、乘幂构成，或是幂指函数的形式，则可以先将函数取对数，然后再对两边求导：

(7) 高阶导数

  1. 定义：
  1. 常用公式：

二. 常考题型的方法与技巧

题型一 导数的概念
题型二 导数的几何意义
题型三 导数与微分的计算

题型一 导数与微分的概念

  1. 利用导数定义求极限
  1. 利用导数定义求导数
  1. 利用导数定义判断函数的可导性

1. 利用导数定义求极限

【例1】 设
，
，则
【例2】 设
存在，且
，求极限
【例3】 设函数
在
处可导，且
，则
(A)
(B)
(C)
(D) 0
【例4】 设曲线
与
在点
处有公共切线，则

2. 利用导数定义求导数

【例1】 设函数
其中
为正整数，则
(A)
(B)
(C)
(D)
【例2】 设
则
。
【例】
已知函数
在
处可导，且
求
。

3. 利用导数定义判断函数的可导性

【例1】 设函数
在
处连续，下列命题中错误的是
(A) 若
存在，则
；
(B) 若
存在，则
；
(C) 若
存在，则
存在；
(D) 若
存在，则
存在；
【例2】 设
，则
在点
可导的充要条件为
(A)
存在；
(B)
存在；
(C)
存在；
(D)
存在。
【例3】 设
可导，
，则
是
在
可导的
(A) 充分必要条件。
(B) 充分条件但非必要条件。
(C) 必要条件但非充分条件。
(D) 既非充分条件又非必要条件。
【例4】 函数
不可导的点的个数是
(A) 3
(B) 2
(C) 1
(D) 0
【例】 设
，其中
连续，则
是
在
处可导的
(A) 充分条件
(B) 必要条件
(C) 充分必要条件
(D) 既非充分条件又非必要条件
（与例4基本一致）
【例5】 设
在点
处可导，则函数
在点
处不可导的充分条件是
(A)
，且
；
(B)
，且
；
(C)
，且
；
(D)
，且
。
【注】
  1. 可导
  1. 可导
  1. 设
  1. 连续
(1) 若
，则
在
处可导
在
处可导
(2) 若
，则
在
处可导
【例6】 设函数
则
在
(A) 处处可导；
(B) 恰有一个不可导点；
(C) 恰有两个不可导点；
(D) 至少有三个不可导点。
【例7】 设
在
上二阶可导，
，
  1. 确定
  1. 使
  1. 在
  1. 上连续。
  1. 证明对于上述确定的
  1. ，
  1. 在
  1. 上有连续一阶导数。

题型二 导数的几何意义

【例1】 曲线
在点
处的切线方程为 \\\\\\。
【例2】 曲线
上对应于
的点处的法线方程为 \\\\\\。
【例3】 已知曲线的极坐标方程是
求该曲线上对应于
处的切线和法线的直角坐标方程。
【例4】 曲线
与曲线
相切，则
。
(A)
(B)
(C)
(D)

题型三 导数与微分的计算

1. 复合函数的导数

【例1】 设
，则
。
【例2】 已知
,
，则
。
例3
设
若
，则
例4
设
函数
可导，求
的导数。
注

2. 隐函数的导数

例1
设
由
所确定，试求
,
。
例2
设函数
由
所确定，试求

3. 参数方程的导数

公式:
方法: 一阶导数代公式，二阶导数利用
例1
设
, 又
求
例2设
由
所确定，求

4. 反函数求导法

例1设
的反函数是
，且
则

5. 对数求导法

对数求导法适用于幂指函数、连乘、连除、开方、乘方等。
例1设
求
。
例2设
求
。

6. 高阶导数

常用方法:
  1. 代公式;
  1. 求一阶
  1. , 二阶
  1. , 归纳
  1. 阶导数
  1. ;
  1. 利用泰勒级数（公式）
例1设
求
例2设
求
例3设
求
例4求函数
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