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考试要求：

理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

理解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，掌握判断函数这些性质的方法。

理解复合函数的概念，了解反函数及==隐函数==的概念，会求给定函数的复合函数和反函数。

掌握基本初等函数的性质及其图形。

理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。

掌握极限的性质及四则运算法则，会运用它们进行一些基本的判断和计算。

掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

掌握连续函数的运算性质和初等函数的连续性，熟悉闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理等），并会应用这些性质。

理解函数一致连续性的概念。

函数、极限、连续

1 函数

1.1 函数的概念及表示法

1.1.1 函数概念

定义1 如果对于每个数，变量按照一定的法则总有一个确定的和它对应，则称是的函数，记为

常称为自变量，为因变量，为定义域。

定义域

值域

注函数概念有两个基本要素：==定义域、对应规则==。

1.2 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性

1.2.1 有界性

定义：若，则称在上有界。

注：；；；；

判定：

定义：

在上连续在上有界；

在上连续，并且存在在上有界；

在区间（有限）上有界在上有界；

1.2.2 单调性

定义：

单调增：

单调不减：

判定：

定义：在上

导数：设在区间上可导，则

单调增

单调不减

1.2.3 周期性

定义：

注：

周期；周期；

若以为周期，则以为周期。

判定

定义：

可导的周期函数其导函数为周期函数

周期函数的原函数不一定是周期函数

注：

设连续且以为周期，则是以为周期的周期函数

周期函数的原函数是周期函数的充要条件是其在一个周期上的积分为零

1.2.4 奇偶性

定义：偶函数；奇函数。

注：

奇函数示例：

偶函数示例：

奇函数的图形关于原点对称，且若在处有定义，则；偶函数的图形关于轴对称。

判定：

定义：设在上连续。

导数：设可导，则

是奇函数是偶函数

是偶函数是奇函数

连续的奇函数其原函数都是偶函数；

连续的偶函数其原函数之一是奇函数。

注：设连续，

若是奇函数，则是偶函数；

若是偶函数，则是奇函数。

例1 已知函数，则（）

(A) 是奇函数，是偶函数。

(B) 是偶函数，是奇函数。

(D) 与均为偶函数。

例2 已知函数，则（）

(A) 是奇函数，是奇函数。

(B) 是奇函数，是偶函数。

(D) 是偶函数，是奇函数。

1.3 复合函数、反函数、分段函数和隐函数

1.3.1 复合函数

定义设的定义域为，的定义域为，值域为，若，则称函数为函数与的复合函数。它的定义域为

1.3.2 反函数

定义设函数的定义域为，值域为。若对任意，有唯一确定的，使得，则记为，称其为函数的反函数。

1.3.3 隐函数

定义若一个函数的形式不能显式地表示为，而是通过一个方程间接地定义了与的关系，则称是的隐函数。隐函数的存在性与唯一性取决于方程的解的性质。在一些情况下，通过隐函数定理可以找到隐函数的导数。

1.4 基本初等函数的性质及其图形

1.4.1 基本初等函数

定义4 将幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数统称为基本初等函数。了解它们的定义域，性质，图形。

幂函数（为实数）；

指数函数（）

对数函数（）

三角函数，，，

反三角函数，，

定义5 由常数和基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个解析式表示的函数，称为初等函数。

1.5 常考题型方法及技巧

题型一复合函数

例1 已知的定义域为，，则的定义域为

解应选 (B)。

题型二函数性态

例1 已知函数在上有界，则的取值范围应为

解

则

则则，选 (D)。

例2

以下四个命题中正确的是

(A) 若在内连续，则在内有界；

(B) 若在内连续，则在内有界；

(D) 若在内有界，则在内有界。

例3

设函数连续，且，则存在，使得

(A) 在内单调增加；

(B) 在内单调减少；

(D) 对任意的，有。

解常用的结论：若，则存在，

当时，，

当时，。

故应选 (C)。

注：，==> 在的某邻域内单调增。

反例：令

则

当时，

例4 设函数在处有 2 阶导数，则（）

(A) 当在的某邻域内单调增加时，

(B) 当时，在的某邻域内单调增加

(D) 当时，在的某邻域内是凹函数

例5 设函数在内连续，且

试证：

若为偶函数，则也是偶函数；

若单调不增，则单调不减。

证明1 若为偶函数，

令得，

证明2

(2)

1.6 数列极限与函数极限的概念

1.6.1 数列极限

定义:

注：

几何意义

数列的极限与前有限项无关

1.6.2 函数极限

定理:

例设函数在区间内有定义，且，则（）

定理：

左极限：

右极限：

需要分左、右极限求极限的问题常见有三种:

分段函数在分界点处的极限

型极限

例如:

型极限

例如:

1.6.3 极限性质

局部有界性

若存在, 则在某去心邻域内有界。。

保号性

若 , 则 , 当时, 。
如果当时, , 那么。

注: 由保号性不难得到保序性:

若 , 当时, 。

3.函数极限与极限值之间的关系

其中。

1.7 无穷小的性质及无穷大的概念及其关系

1.7.1 无穷小

无穷小的概念：若，称为无穷小。

( 或 )

无穷小的比较：设。

高阶：若，记为；
同阶：若；
等价：若，记为；
无穷小的阶：若，称是的阶无穷小。

无穷小的性质：

有限个无穷小的和仍是无穷小。
有限个无穷小的积仍是无穷小。
无穷小量与有界量的积仍是无穷小。

1.7.2 无穷大

无穷大的概念：

若，称为时的无穷大。

常用的一些无穷大的比较：

当时

其中。

当时

其中。

1.7.3 无穷大与无界变量的关系

数列是无穷大：

数列是无界变量：

无穷大无界变量

1.7.4 无穷大量与无穷小量的关系

在同一极限过程中，如果是无穷大，则是无穷小；反之，如果是无穷小且，则是无穷大。

1.8 极限存在准则

夹逼准则

若 , 且 , 则。

单调有界准则

单调有界数列必有极限：

单调增且有上界的数列必有极限；

单调减且有下界的数列必有极限。

1.8 常考题型的方法与技巧

题型一极限的概念、性质及存在准则

例1 设 , 且 , 则当充分大时有

(A)

(B)

(C)

(D)

解1 直接法

由 , 且，知，则当充分大时有，故应选 (A)。

解2 排除法

若取，a = 2, 显然 (B), (D) 都不正确。若取，a = 2, 则 (C) 不正确，故应选 (A)。

例2 设均为非负数列，且 , , ，则必有

(A) 对任意成立。

(B) 对任意成立。

(D) 极限不存在。

解1 直接法

由 , ，知，故选 (D)。

解2 排除法

例3 设数列与满足，则下列断言正确的是

(A) 若发散，则必发散；

(B) 若无界，则必有界；

(D) 若为无穷小，则必为无穷小。

解1 直接法

由于，则

故选 (D)。

解2 排除法

例4 设，，则数列有界是数列收敛的

(A) 充分必要条件。

(B) 充分非必要条件。

(D) 既非充分也非必要条件。

解:显然数列单调增，若有界，则收敛，又

则数列收敛。

例5 证明：

若 , 且，则；

证明：

由可知，，又,取常数，使得，则对于，当时，有

由此可知，当时，，则。

例6(1) 证明：对任意的正整数，都有

(2) 设，证明数列收敛。

证明

(1)

所以：

(2) 设

且

题型二求极限

1.求极限的常用方法

方法1. 利用有理运算法则求极限

若 , ，那么：

推论：

若，则 == 即：极限非零的因子极限可先求出来==

若，，则

若，，则

例1 设，则 ( )

(D) 注：存在不存在=存在不存在不存在=不一定例1已知数列单调减，单调增，且，则 ( )解:设 , 。由是无穷小，则与收敛，且，故选 (D)。

(A) 收敛，不收敛；
(B) 收敛，不收敛；
(C) , 都收敛，但；
(D) , 都收敛，且。

方法2. 利用基本极限求极限

常用的基本极限

方法3. 利用等价无穷小代换求极限

1. 常用等价无穷小

当时,

(1).

(2).

(3). 设和在的某邻域内连续, 且

则

2. 等价无穷小代换的原则

(1) 乘、除关系可以换；

若 , 则

(2) 加、减关系在一定条件下可以换；

若 , 且 , 则。

若 , 且 , 则。例1 求极限

解1

解2

方法4. 利用洛必达法则求极限

若

和在的某去心邻域内可导，且；

存在（或）；

则

注

当形式时，使用洛必达法则；

当形式时，转换为或再用洛必达法则。

例如：

方法5 利用泰勒公式求极限(上次讲到这了)

定理（泰勒公式）

设在处阶可导，则

特别是当时

几个常用的泰勒公式

例1求极限

解

由于 ,

原式=

方法6 利用夹逼准则求极限

例1 求极限

方法7 利用定积分的定义求极限

例1 求极限

解：

原式

这是定积分的定义形式，可以写成

方法8 利用单调有界准则求极限

例1设，求极限。

解：

由题设知，且

则极限存在。设，则

2. 求极限常见的题型

函数的极限

7种不定式，即

重点

1. "" 型极限

常用的方法有三种：

洛必达法则

等价无穷小代换

泰勒公式

【原式化简】

极限非零的因子极限先求出

有理化

变量代换例1 求极限

解原式=

例1 求极限

解

原式

例2 求极限

例3 求极限

例4 求极限

例5 求极限

[注] 当时，这个结论推广可得若则

由此可得例6 求极限

例7 求极限

2."

"型极限

常用的方法有两种：

洛必达法则

分子分母同除以分子和分母各项中最高阶的无穷大

【例1】求极限

【解】原式

【例2】求极限

【例3】求极限

3. 型极限

常用的方法有三种

通分化为（适用于分式差）

根式有理化（适用于根式差）

提无穷因子，然后等价代换或变量代换，泰勒公式

【例1】求极限

【例2】求极限

【例3】求极限

【例4】求极限

【例5】求极限

【例6】求极限

【例7】求极限

4. ""型极限

常用的方法是化为或

例1 求极限

解1 原式

5. ""型极限

常用的方法有三种：

凑基本极限

改写成指数

利用结论：若且，则

可以归纳为以下三步：

写标准形式

求极限

写结果

例1 求极限

例2 求极限

例3 求极限

(A)1

(B)e

(C)

(D)

例4 求极限

6. " " 型极限

【例1】求极限

题型三数列的极限

1. 不定式的极限

【例1】求极限

【解】原式

【例2】求极限

2.n项和的数列极限

常用方法:

夹逼原理

定积分定义

级数求和

【例1】求极限

【例2】求极限

注

小结:

变化部分是主体次量级，用夹逼原理。

变化部分与主体同量级，用定积分定义；

【例1】求极限

【例4】求极限

【例5】 设

，则

。

考虑幂级数

则

所以，先求

。

【例6】证明

其中

（

），并利用该结论求下列极限

3. n项连乘的数列极限

常用方法:

夹逼原理

取对数化为n项和

【例1】设

求

;

4. 递推关系

常用方法:

方法1: 先证

收敛（单调有界准则），然后等式

两端取极限得

，由此求得极限

。

方法2: 先令

，然后等式

两端取极限，解得

，最后再证明

。

单调性判定常用三种方法

不变号，且

设数列

所确定

若
单调增，则当
时，
单调增；当
时，
单调减；
若
单调减，则
不单调；

【例1】 设

，

，(

)

证明：数列

极限存在并求此极限。

\text{设 }x{1}=\sqrt{6},x{2}=\sqrt{6+\sqrt{6}},\cdots, x{n}=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots+\sqrt{6}}}},

【例3】 设

，

证明数列

收敛，并求极限

求极限

【例4】 设

，

（

），求极限

。

【分析】 令

，则

，显然

在

处单调减，则

不具有单调性，因此用方法2。

【例5】 设

可微，且

，数列

定义为

，

。

证明

存在且是方程

的唯一实根。

注：数列

收敛等价于级数

收敛。

1.9 两个重要极限

1.10 函数连续的概念

1.11函数间断点的类型

1.12初等函数的连续性

1.13闭区间上连续函数的性质

1.14函数的一致连续性概念

函数

题型一复合函数

题型二函数性态

极限

题型一极限的概念、性质及存在准则

题型二求极限

题型三已知极限确定参数变化部分与主体同量级，用定积分定义；

考试要求：

函数、极限、连续

1 函数

1.1 函数的概念及表示法

1.1.1 函数概念

1.2 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性

1.2.1 有界性

1.2.2 单调性

1.2.3 周期性

1.2.4 奇偶性

1.3 复合函数、反函数、分段函数和隐函数

1.3.1 复合函数

1.3.2 反函数

1.3.3 隐函数

1.4 基本初等函数的性质及其图形

1.4.1 基本初等函数

1.5 常考题型方法及技巧

题型一 复合函数

题型二 函数性态

1.6 数列极限与函数极限的概念

1.6.1 数列极限

1.6.2 函数极限

1.6.3 极限性质

1.7 无穷小的性质及无穷大的概念及其关系

1.7.1 无穷小

1.7.2 无穷大

1.7.3 无穷大与无界变量的关系

1.7.4 无穷大量与无穷小量的关系

1.8 极限存在准则

1.8 常考题型的方法与技巧

题型一 极限的概念、性质及存在准则

题型二 求极限

1.求极限的常用方法

方法1. 利用有理运算法则求极限

方法2. 利用基本极限求极限

方法3. 利用等价无穷小代换求极限

方法4. 利用洛必达法则求极限

方法5 利用泰勒公式求极限(上次讲到这了)

方法6 利用夹逼准则求极限

方法7 利用定积分的定义求极限

方法8 利用单调有界准则求极限

2. 求极限常见的题型

1. "" 型极限

2."

"型极限

3. 型极限

4. ""型极限

5. ""型极限

6. " " 型极限

题型三 数列的极限

1. 不定式的极限

2.n项和的数列极限

3. n项连乘的数列极限

4. 递推关系

1.9 两个重要极限

1.10 函数连续的概念

1.11函数间断点的类型

1.12初等函数的连续性

1.13闭区间上连续函数的性质

1.14函数的一致连续性概念

函数

极限

题型一复合函数

题型二函数性态

题型一极限的概念、性质及存在准则

题型二求极限

题型三数列的极限